関数 $f(x) = \frac{e^x}{2+3x}$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{e^x}{2+3x}$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1階微分を計算します。

$f'(x) = \frac{e^x(2+3x) - e^x(3)}{(2+3x)^2} = \frac{e^x(2+3x-3)}{(2+3x)^2} = \frac{e^x(3x-1)}{(2+3x)^2}$

次に、2階微分を計算します。

$f''(x) = \frac{e^x(3x-1+3)(2+3x)^2 - e^x(3x-1)2(2+3x)(3)}{(2+3x)^4} = \frac{e^x[(3x+2)(2+3x)-6(3x-1)]}{(2+3x)^3} = \frac{e^x(9x^2+6x+6x+4-18x+6)}{(2+3x)^3} = \frac{e^x(9x^2+10)}{(2+3x)^3}$

一般の公式を推測することは難しいですが、問題文には帰納法は不要であると書かれているので、別の方法を考えます。

関数 $f(x)$ を部分分数分解することを試みます。

$\frac{1}{2+3x} = g(x)$ とすると、$f(x) = e^x g(x)$ となります。ライプニッツの公式を使用すると、

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (e^x)^{(n-k)} g^{(k)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^x g^{(k)}(x)$

$g(x) = (2+3x)^{-1}$

$g'(x) = -1(2+3x)^{-2}(3) = -3(2+3x)^{-2}$

$g''(x) = (-3)(-2)(2+3x)^{-3}(3) = 18(2+3x)^{-3}$

$g^{(k)}(x) = (-1)^k (k!) 3^k (2+3x)^{-(k+1)}$

よって、

$f^{(n)}(x) = e^x \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k (k!) 3^k (2+3x)^{-(k+1)} = e^x \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} (-1)^k (k!) 3^k (2+3x)^{-(k+1)} = n! e^x \sum_{k=0}^n \frac{(-3)^k}{(n-k)!(2+3x)^{k+1}}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = n! e^x \sum_{k=0}^n \frac{(-3)^k}{(n-k)!(2+3x)^{k+1}}$