$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より、 $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ したがって、 $f(x) = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2} |\cos x|$ 区間 $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ では、$\cos x > 0$ なので、 $f(x) = \sqrt{2} \cos x$

## 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{1 + \cos 2x}$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める。ただし、$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ とする。

## 解き方の手順

1. 三角関数の公式を用いて、$f(x)$ を簡単にする。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より、

$1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$

したがって、

$f(x) = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2} |\cos x|$

区間 $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ では、$\cos x > 0$ なので、

$f(x) = \sqrt{2} \cos x$

2. $f(x)$ の導関数を繰り返し計算して、規則性を見つける。

$f'(x) = -\sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} \cos (x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -\sqrt{2} \cos x = \sqrt{2} \cos (x + \pi) = \sqrt{2} \cos (x + 2 \cdot \frac{\pi}{2})$

$f'''(x) = \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} \cos (x + \frac{3\pi}{2})$

$f^{(4)}(x) = \sqrt{2} \cos x = \sqrt{2} \cos (x + 2\pi) = \sqrt{2} \cos (x + 4 \cdot \frac{\pi}{2})$

3. $n$ 次導関数の一般式を推測する。

上記の計算結果から、$f^{(n)}(x)$ は以下のように表されると推測できる。

$f^{(n)}(x) = \sqrt{2} \cos(x + n \cdot \frac{\pi}{2})$

## 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \sqrt{2} \cos(x + \frac{n\pi}{2})$