与えられた極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x-1$ を $(\sqrt[3]{x}-1)$ で因数分解することを考えます。

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用して、$x-1 = (\sqrt[3]{x})^3 - 1^3 = (\sqrt[3]{x} - 1)((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1)$ と書けます。

したがって、

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\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}

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= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1}

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$x \to 1$ のとき $\sqrt[3]{x^2} \to 1$ かつ $\sqrt[3]{x} \to 1$ なので、

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\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$