不定積分 $\int \frac{13x+30}{x^3-7x-36} dx$ について、以下の問いに答える。 (1) 被積分関数 $\frac{13x+30}{x^3-7x-36}$ を部分分数分解せよ。 (2) (1)の結果を利用して、不定積分 $\int \frac{13x+30}{x^3-7x-36} dx$ を計算せよ。

## 問題2について解答します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{13x+30}{x^3-7x-36} dx$ について、以下の問いに答える。

(1) 被積分関数 $\frac{13x+30}{x^3-7x-36}$ を部分分数分解せよ。

(2) (1)の結果を利用して、不定積分 $\int \frac{13x+30}{x^3-7x-36} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を行う。まず、分母を因数分解する。$x^3-7x-36 = (x-4)(x^2+4x+9)$ となる。

したがって、部分分数分解は以下のように表せる。

$\frac{13x+30}{(x-4)(x^2+4x+9)} = \frac{A}{x-4} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+9}$

両辺に$(x-4)(x^2+4x+9)$を掛けると

$13x+30 = A(x^2+4x+9) + (Bx+C)(x-4)$

$13x+30 = Ax^2+4Ax+9A + Bx^2 -4Bx+Cx-4C$

$13x+30 = (A+B)x^2 + (4A-4B+C)x + (9A-4C)$

係数を比較して、

$A+B = 0$

$4A-4B+C = 13$

$9A-4C = 30$

$A+B=0$より、$B=-A$. これを$4A-4B+C = 13$に代入すると、$4A + 4A + C = 13$, すなわち、$8A+C = 13$.

よって、$C = 13-8A$.

これを$9A-4C = 30$に代入すると、$9A - 4(13-8A) = 30$.

$9A-52+32A = 30$.

$41A = 82$.

$A = 2$.

よって、$B=-2$, $C = 13-8(2) = -3$.

したがって、部分分数分解は以下のようになる。

$\frac{13x+30}{x^3-7x-36} = \frac{2}{x-4} + \frac{-2x-3}{x^2+4x+9}$

(2) 不定積分を計算する。

$\int \frac{13x+30}{x^3-7x-36} dx = \int \frac{2}{x-4} dx + \int \frac{-2x-3}{x^2+4x+9} dx$

$\int \frac{2}{x-4} dx = 2\ln|x-4| + C_1$

$\int \frac{-2x-3}{x^2+4x+9} dx = \int \frac{-(2x+4)+1}{x^2+4x+9} dx = -\int \frac{2x+4}{x^2+4x+9} dx + \int \frac{1}{x^2+4x+9} dx$

$-\int \frac{2x+4}{x^2+4x+9} dx = -\ln|x^2+4x+9| + C_2$

$\int \frac{1}{x^2+4x+9} dx = \int \frac{1}{(x+2)^2+5} dx = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan{\frac{x+2}{\sqrt{5}}} + C_3$

したがって、

$\int \frac{13x+30}{x^3-7x-36} dx = 2\ln|x-4| - \ln|x^2+4x+9| + \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan{\frac{x+2}{\sqrt{5}}} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{13x+30}{x^3-7x-36} dx = 2\ln|x-4| - \ln|x^2+4x+9| + \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan{\frac{x+2}{\sqrt{5}}} + C$