定積分 $\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \cos^5 x \, dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \cos^5 x \, dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos^5 x = \cos x \cdot \cos^4 x = \cos x \cdot (\cos^2 x)^2 = \cos x \cdot (1 - \sin^2 x)^2$

ここで、$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x \, dx$。

積分範囲は、$x = 0$ のとき $u = \sin 0 = 0$、$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき $u = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \cos^5 x \, dx = \int_{0}^{-1} (1 - u^2)^2 \, du = \int_{0}^{-1} (1 - 2u^2 + u^4) \, du$

$= \left[ u - \frac{2}{3} u^3 + \frac{1}{5} u^5 \right]_{0}^{-1} = \left( -1 - \frac{2}{3} (-1) + \frac{1}{5} (-1) \right) - 0 = -1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5}$

$= \frac{-15 + 10 - 3}{15} = \frac{-8}{15}$

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{15}$