$\lim_{x\to 1} (x^2 - 2x + 2)^{\frac{x}{x^2 - 2x + 1}}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 1} (x^2 - 2x + 2)^{\frac{x}{x^2 - 2x + 1}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式の指数部分に注目します。

$\frac{x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x}{(x-1)^2}$

また、底の部分を $f(x) = x^2 - 2x + 2$ とおきます。

$f(x) = x^2 - 2x + 1 + 1 = (x-1)^2 + 1$

$y = \lim_{x\to 1} (x^2 - 2x + 2)^{\frac{x}{x^2 - 2x + 1}}$

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \lim_{x\to 1} \ln ( (x^2 - 2x + 2)^{\frac{x}{x^2 - 2x + 1}} )$

$\ln y = \lim_{x\to 1} \frac{x}{x^2 - 2x + 1} \ln (x^2 - 2x + 2)$

$\ln y = \lim_{x\to 1} \frac{x \ln (x^2 - 2x + 2)}{x^2 - 2x + 1}$

$x = 1 + h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$\ln y = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h) \ln((1+h)^2 - 2(1+h) + 2)}{((1+h)-1)^2}$

$\ln y = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h) \ln(1+2h+h^2 - 2 - 2h + 2)}{h^2}$

$\ln y = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h) \ln(1+h^2)}{h^2}$

$\ln y = \lim_{h\to 0} (1+h) \frac{\ln(1+h^2)}{h^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ を用いると、

$\ln y = \lim_{h\to 0} (1+h) \cdot 1$

$\ln y = 1$

$y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

e