画像にある不定積分の問題を解きます。具体的には、以下の問題を解きます。 2.(1) $\int (2x^2 + 5x - 1) \, dx$ 2.(2) $\int x\sqrt{x} \, dx$ 2.(3) $\int (x-1)^3 \, dx$ 2.(4) $\int (x^{-3} - 5x^{-4}) \, dx$ 2.(5) $\int (2x+1)(3x-4) \, dx$ 2.(6) $\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \, dx$ 3.(1) $\int (x^3 + x^{-\frac{1}{2}} - e^x) \, dx$ 3.(2) $\int \frac{1-\cos x}{2} \, dx$ 3.(3) $\int (1+\tan^2 x) \, dx$

はい、承知いたしました。問題の不定積分を解いていきます。

1. 問題の内容

画像にある不定積分の問題を解きます。具体的には、以下の問題を解きます。

2.(1) $\int (2x^2 + 5x - 1) \, dx$

2.(2) $\int x\sqrt{x} \, dx$

2.(3) $\int (x-1)^3 \, dx$

2.(4) $\int (x^{-3} - 5x^{-4}) \, dx$

2.(5) $\int (2x+1)(3x-4) \, dx$

2.(6) $\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \, dx$

3.(1) $\int (x^3 + x^{-\frac{1}{2}} - e^x) \, dx$

3.(2) $\int \frac{1-\cos x}{2} \, dx$

3.(3) $\int (1+\tan^2 x) \, dx$

2. 解き方の手順

不定積分は、それぞれの項を積分し、積分定数 $C$ を加えることで求められます。

2.(1) $\int (2x^2 + 5x - 1) \, dx$

$= 2\int x^2 \, dx + 5\int x \, dx - \int 1 \, dx$

$= 2\frac{x^3}{3} + 5\frac{x^2}{2} - x + C$

2.(2) $\int x\sqrt{x} \, dx$

$= \int x^{\frac{3}{2}} \, dx$

$= \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C$

$= \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$

2.(3) $\int (x-1)^3 \, dx$

$= \int (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx$

$= \int x^3 \, dx - 3\int x^2 \, dx + 3\int x \, dx - \int 1 \, dx$

$= \frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + 3\frac{x^2}{2} - x + C$

$= \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C$

2.(4) $\int (x^{-3} - 5x^{-4}) \, dx$

$= \int x^{-3} \, dx - 5\int x^{-4} \, dx$

$= \frac{x^{-2}}{-2} - 5\frac{x^{-3}}{-3} + C$

$= -\frac{1}{2x^2} + \frac{5}{3x^3} + C$

2.(5) $\int (2x+1)(3x-4) \, dx$

$= \int (6x^2 - 8x + 3x - 4) \, dx$

$= \int (6x^2 - 5x - 4) \, dx$

$= 6\int x^2 \, dx - 5\int x \, dx - 4\int 1 \, dx$

$= 6\frac{x^3}{3} - 5\frac{x^2}{2} - 4x + C$

$= 2x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 4x + C$

2.(6) $\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \, dx$

$= 2\int x^{-\frac{1}{3}} \, dx$

$= 2\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C$

$= 3x^{\frac{2}{3}} + C$

3.(1) $\int (x^3 + x^{-\frac{1}{2}} - e^x) \, dx$

$= \int x^3 \, dx + \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int e^x \, dx$

$= \frac{x^4}{4} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - e^x + C$

$= \frac{x^4}{4} + 2\sqrt{x} - e^x + C$

3.(2) $\int \frac{1-\cos x}{2} \, dx$

$= \frac{1}{2}\int (1-\cos x) \, dx$

$= \frac{1}{2}(\int 1 \, dx - \int \cos x \, dx)$

$= \frac{1}{2}(x - \sin x) + C$

$= \frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2} + C$

3.(3) $\int (1+\tan^2 x) \, dx$

$\int (1+\tan^2 x) \, dx = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

3. 最終的な答え

2.(1) $\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - x + C$

2.(2) $\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$

2.(3) $\frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C$

2.(4) $-\frac{1}{2x^2} + \frac{5}{3x^3} + C$

2.(5) $2x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 4x + C$

2.(6) $3x^{\frac{2}{3}} + C$

3.(1) $\frac{x^4}{4} + 2\sqrt{x} - e^x + C$

3.(2) $\frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2} + C$

3.(3) $\tan x + C$