与えられた曲線について、指定された点における接線の方程式を求める問題です。 (1) $y = 4x - x^2$ ($x=1$) (2) $y = \log(x+1)$ ($x=0$) (3) $y = \frac{1}{x+1}$ ($x=0$) (4) $y = \sqrt{x^2 - 3}$ ($x=2$)

承知いたしました。問題56の(1)から(4)までを解きます。

1. 問題の内容

与えられた曲線について、指定された点における接線の方程式を求める問題です。

(1) $y = 4x - x^2$ ($x=1$)

(2) $y = \log(x+1)$ ($x=0$)

(3) $y = \frac{1}{x+1}$ ($x=0$)

(4) $y = \sqrt{x^2 - 3}$ ($x=2$)

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で接線の方程式を求めます。

(a) 導関数を計算する。

(b) 指定された $x$ 座標における導関数の値を計算し、接線の傾き $m$ とする。

(c) 指定された $x$ 座標における $y$ 座標を計算し、接点の座標 $(x_1, y_1)$ とする。

(d) 接線の方程式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を求める。

(1) $y = 4x - x^2$ ($x=1$)

(a) $y' = 4 - 2x$

(b) $x=1$ のとき、$y' = 4 - 2(1) = 2$

(c) $x=1$ のとき、$y = 4(1) - (1)^2 = 3$. よって、接点は $(1, 3)$.

(d) 接線の方程式: $y - 3 = 2(x - 1)$. 整理すると、$y = 2x + 1$.

(2) $y = \log(x+1)$ ($x=0$)

(a) $y' = \frac{1}{x+1}$

(b) $x=0$ のとき、$y' = \frac{1}{0+1} = 1$

(c) $x=0$ のとき、$y = \log(0+1) = \log(1) = 0$. よって、接点は $(0, 0)$.

(d) 接線の方程式: $y - 0 = 1(x - 0)$. 整理すると、$y = x$.

(3) $y = \frac{1}{x+1}$ ($x=0$)

(a) $y' = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(b) $x=0$ のとき、$y' = -\frac{1}{(0+1)^2} = -1$

(c) $x=0$ のとき、$y = \frac{1}{0+1} = 1$. よって、接点は $(0, 1)$.

(d) 接線の方程式: $y - 1 = -1(x - 0)$. 整理すると、$y = -x + 1$.

(4) $y = \sqrt{x^2 - 3}$ ($x=2$)

(a) $y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 3}}$

(b) $x=2$ のとき、$y' = \frac{2}{\sqrt{2^2 - 3}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$

(c) $x=2$ のとき、$y = \sqrt{2^2 - 3} = \sqrt{1} = 1$. よって、接点は $(2, 1)$.

(d) 接線の方程式: $y - 1 = 2(x - 2)$. 整理すると、$y = 2x - 3$.

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x + 1$

(2) $y = x$

(3) $y = -x + 1$

(4) $y = 2x - 3$