定積分 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^6 x \, dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^6 x \, dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、ウォリスの公式を用いて計算できます。ウォリスの公式は、以下の通りです。

$\int_{0}^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \begin{cases}

\frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} & \text{if } n \text{ is even} \\

\frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{if } n \text{ is odd}

\end{cases}$

ここで、$n!!$ は二重階乗を表します。

二重階乗は、$n$ から2ずつ引いていき、1または2まで掛け合わせたものです。

例えば、$6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$、$5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$ です。

この問題では、$n=6$ なので、ウォリスの公式の偶数の場合を適用します。

$\int_{0}^{\pi/2} \cos^6 x \, dx = \frac{5!!}{6!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{15}{48} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5}{16} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{32}$