与えられた積分 $\int (e^{2x} + e^{-x})^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (e^{2x} + e^{-x})^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(e^{2x} + e^{-x})^2 = (e^{2x})^2 + 2e^{2x}e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{4x} + 2e^{x} + e^{-2x}$

したがって、積分は

$\int (e^{2x} + e^{-x})^2 dx = \int (e^{4x} + 2e^{x} + e^{-2x}) dx$

この積分を各項に分けて計算します。

$\int e^{4x} dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C_1$

$\int 2e^{x} dx = 2e^{x} + C_2$

$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C_3$

したがって、

$\int (e^{4x} + 2e^{x} + e^{-2x}) dx = \frac{1}{4}e^{4x} + 2e^{x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}e^{4x} + 2e^{x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$