定積分 $\int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この定積分は部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、

$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

よって、

$\int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} (-\cos x) \, dx$

$= \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx$

$\left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi/2} = -\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} - (-0 \cdot \cos 0) = -\frac{\pi}{2} \cdot 0 + 0 = 0$

$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

したがって、

$\int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx = 0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

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