次の2つの関数の指定された区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 20$ ($-5 \leq x \leq 2$) (2) $y = \frac{2}{x} + \log x$ ($1 \leq x \leq e$)

1. 問題の内容

次の2つの関数の指定された区間における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 20$ ($-5 \leq x \leq 2$)

(2) $y = \frac{2}{x} + \log x$ ($1 \leq x \leq e$)

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 20$ の導関数を求めます。

$y' = 3x^2 + 6x - 9$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x+3)(x-1) = 0$

$x = -3, 1$

区間 $-5 \leq x \leq 2$ における $x = -5, -3, 1, 2$ での $y$ の値を計算します。

$y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 9(-5) + 20 = -125 + 75 + 45 + 20 = 15$

$y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 20 = -27 + 27 + 27 + 20 = 47$

$y(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 20 = 1 + 3 - 9 + 20 = 15$

$y(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 9(2) + 20 = 8 + 12 - 18 + 20 = 22$

よって、最大値は 47 ($x=-3$)、最小値は 15 ($x=-5, 1$)です。

(2)

まず、関数 $y = \frac{2}{x} + \log x$ の導関数を求めます。

$y' = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$

$\frac{-2 + x}{x^2} = 0$

$x = 2$

区間 $1 \leq x \leq e$ における $x = 1, 2, e$ での $y$ の値を計算します。

$y(1) = \frac{2}{1} + \log 1 = 2 + 0 = 2$

$y(2) = \frac{2}{2} + \log 2 = 1 + \log 2 \approx 1 + 0.693 = 1.693$

$y(e) = \frac{2}{e} + \log e = \frac{2}{e} + 1 \approx \frac{2}{2.718} + 1 \approx 0.736 + 1 = 1.736$

よって、最大値は 2 ($x=1$)、最小値は $1 + \log 2$ ($x=2$)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 47 ($x=-3$), 最小値: 15 ($x=-5, 1$)

(2) 最大値: 2 ($x=1$), 最小値: $1 + \log 2$ ($x=2$)