与えられた2つの数列の極限を求める問題です。 (1) $\frac{1}{4}, \frac{1}{7}, \frac{1}{10}, ..., \frac{1}{3n+1}, ...$ (2) $-1, 2, -3, ..., (-1)^n n, ...$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の極限を求める問題です。

(1) $\frac{1}{4}, \frac{1}{7}, \frac{1}{10}, ..., \frac{1}{3n+1}, ...$

(2) $-1, 2, -3, ..., (-1)^n n, ...$

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項は $a_n = \frac{1}{3n+1}$ です。

$n$ が無限大に近づくとき、分母 $3n+1$ も無限大に近づきます。

したがって、分数 $\frac{1}{3n+1}$ は0に近づきます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n+1} = 0$$

(2) 数列の一般項は $b_n = (-1)^n n$ です。

$n$ が偶数のとき、$b_n = n$ となり、無限大に発散します。

$n$ が奇数のとき、$b_n = -n$ となり、負の無限大に発散します。

数列は振動しながら絶対値が大きくなるため、極限は存在しません。

$$\lim_{n \to \infty} (-1)^n n \text{ は存在しない。}$$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 極限は存在しない