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$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x^2 + 1} = 0$ を、はさみうちの原理を用いて示す。

解析学極限はさみうちの原理三角関数
2025/6/12

1. 問題の内容

lim⁡x→∞sin⁡xx2+1=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x^2 + 1} = 0 を、はさみうちの原理を用いて示す。

2. 解き方の手順

まず、sin⁡x\sin x の範囲について考えます。
−1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1が常に成り立ちます。
次に、与えられた式 sin⁡xx2+1\frac{\sin x}{x^2 + 1} を評価します。
x2+1>0x^2 + 1 > 0 であるため、各辺を x2+1x^2 + 1 で割ることができます。
したがって、
-\frac{1}{x^2 + 1} \leq \frac{\sin x}{x^2 + 1} \leq \frac{1}{x^2 + 1}
となります。
ここで、はさみうちの原理を用いるために、lim⁡x→∞−1x2+1\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x^2 + 1} と lim⁡x→∞1x2+1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2 + 1} を計算します。
\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x^2 + 1} = 0
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0
したがって、はさみうちの原理より、
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x^2 + 1} = 0
が示されます。

3. 最終的な答え

lim⁡x→∞sin⁡xx2+1=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x^2 + 1} = 0

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