次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (\log_4 x^2 - \log_4 (x+1))$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} (\log_4 x^2 - \log_4 (x+1))$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を簡略化します。対数の差は、真数の商の対数に等しいことを利用します。

$\log_4 x^2 - \log_4 (x+1) = \log_4 \frac{x^2}{x+1}$

次に、極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \log_4 \frac{x^2}{x+1}$

$\frac{x^2}{x+1}$ の極限を計算するために、分子と分母を $x$ で割ります。

$\frac{x^2}{x+1} = \frac{x}{1+\frac{1}{x}}$

$x \to \infty$ のとき $\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\frac{x}{1+\frac{1}{x}}$ は $\infty$ に発散します。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x+1} = \infty$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \log_4 \frac{x^2}{x+1} = \log_4 (\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x+1}) = \log_4 \infty = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$