与えられた関数 $f(x)$ をマクローリン展開する問題です。具体的には、以下の3つの関数について、マクローリン展開を求めます。 1) $f(x) = \frac{2^3}{(2-3x)^3}$ ただし、$|x| < \frac{2}{3}$ 2) $f(x) = (3\sin(2x) - 4\sin^3(2x))^2$ 3) $f(x) = (x+1)\sin(2x)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ をマクローリン展開する問題です。具体的には、以下の3つの関数について、マクローリン展開を求めます。

1) $f(x) = \frac{2^3}{(2-3x)^3}$ ただし、$|x| < \frac{2}{3}$

2) $f(x) = (3\sin(2x) - 4\sin^3(2x))^2$

3) $f(x) = (x+1)\sin(2x)$

2. 解き方の手順

1) $f(x) = \frac{2^3}{(2-3x)^3}$ の場合：

まず、$f(x)$ を次のように変形します。

$$f(x) = \frac{2^3}{2^3(1-\frac{3}{2}x)^3} = \frac{1}{(1-\frac{3}{2}x)^3} = (1-\frac{3}{2}x)^{-3}$$

二項定理 $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$ を用います。

この場合、$n = -3$ で、$x$ を $-\frac{3}{2}x$ に置き換えます。

$(1-\frac{3}{2}x)^{-3} = 1 + (-3)(-\frac{3}{2}x) + \frac{(-3)(-4)}{2!}(-\frac{3}{2}x)^2 + \frac{(-3)(-4)(-5)}{3!}(-\frac{3}{2}x)^3 + \cdots$

$= 1 + \frac{9}{2}x + \frac{6 \cdot 9}{4}x^2 + \frac{10 \cdot 27}{8}x^3 + \cdots$

$= 1 + \frac{9}{2}x + \frac{27}{2}x^2 + \frac{135}{4}x^3 + \cdots$

2) $f(x) = (3\sin(2x) - 4\sin^3(2x))^2$ の場合：

三角関数の恒等式 $3\sin\theta - 4\sin^3\theta = \sin(3\theta)$ を利用します。

$f(x) = (\sin(6x))^2 = \sin^2(6x)$

$\sin^2(6x) = \frac{1 - \cos(12x)}{2}$

$\cos(x)$ のマクローリン展開は $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ です。

したがって、$\cos(12x) = 1 - \frac{(12x)^2}{2!} + \frac{(12x)^4}{4!} - \frac{(12x)^6}{6!} + \cdots$

$= 1 - \frac{144x^2}{2} + \frac{20736x^4}{24} - \cdots$

$= 1 - 72x^2 + 864x^4 - \cdots$

$\sin^2(6x) = \frac{1 - (1 - 72x^2 + 864x^4 - \cdots)}{2} = \frac{72x^2 - 864x^4 + \cdots}{2} = 36x^2 - 432x^4 + \cdots$

3) $f(x) = (x+1)\sin(2x)$ の場合：

$\sin(2x) = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \cdots = 2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \cdots$

$= 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 - \cdots$

$f(x) = (x+1)(2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 - \cdots) = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 + 2x^2 - \frac{4}{3}x^4 + \frac{4}{15}x^6 - \cdots$

$= 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^4 + \frac{4}{15}x^5 + \cdots$

3. 最終的な答え

1) $f(x) = 1 + \frac{9}{2}x + \frac{27}{2}x^2 + \frac{135}{4}x^3 + \cdots$

2) $f(x) = 36x^2 - 432x^4 + \cdots$

3) $f(x) = 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^4 + \frac{4}{15}x^5 + \cdots$