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以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin x}$

解析学極限三角関数lim x->0 sinx/x
2025/6/12

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。
lim⁡x→0sin⁡7xsin⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin x}

2. 解き方の手順

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用します。
sin⁡7xsin⁡x\frac{\sin 7x}{\sin x} を次のように変形します。
sin⁡7xsin⁡x=sin⁡7x7x⋅xsin⁡x⋅7xx\frac{\sin 7x}{\sin x} = \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{7x}{x}
lim⁡x→0sin⁡7x7x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} = 1
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 より lim⁡x→0xsin⁡x=1\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1
したがって、
lim⁡x→0sin⁡7xsin⁡x=lim⁡x→0sin⁡7x7x⋅lim⁡x→0xsin⁡x⋅lim⁡x→07xx\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{7x}{x}
=1⋅1⋅7=7= 1 \cdot 1 \cdot 7 = 7

3. 最終的な答え

7

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