与えられた4つの関数について、導関数の定義にしたがって導関数を求めます。導関数の定義は以下の通りです。 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、導関数の定義にしたがって導関数を求めます。導関数の定義は以下の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 5x + 1$

$f(x) = 5x + 1$とおくと、

$f(x+h) = 5(x+h) + 1 = 5x + 5h + 1$

よって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(5x + 5h + 1) - (5x + 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5h}{h} = \lim_{h \to 0} 5 = 5$

(2) $y = 2x^2$

$f(x) = 2x^2$とおくと、

$f(x+h) = 2(x+h)^2 = 2(x^2 + 2xh + h^2) = 2x^2 + 4xh + 2h^2$

よって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(2x^2 + 4xh + 2h^2) - (2x^2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4xh + 2h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4x + 2h) = 4x$

(3) $y = -x^3$

$f(x) = -x^3$とおくと、

$f(x+h) = -(x+h)^3 = -(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) = -x^3 - 3x^2h - 3xh^2 - h^3$

よって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(-x^3 - 3x^2h - 3xh^2 - h^3) - (-x^3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-3x^2h - 3xh^2 - h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (-3x^2 - 3xh - h^2) = -3x^2$

(4) $y = x^4 - 2x$

$f(x) = x^4 - 2x$とおくと、

$f(x+h) = (x+h)^4 - 2(x+h) = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 - 2x - 2h$

よって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 - 2x - 2h) - (x^4 - 2x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 - 2h}{h} = \lim_{h \to 0} (4x^3 + 6x^2h + 4xh^2 + h^3 - 2) = 4x^3 - 2$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 5$

(2) $y' = 4x$

(3) $y' = -3x^2$

(4) $y' = 4x^3 - 2$