問題は、次の関数のフーリエ正弦級数展開を求めることです。 (1) $f(x) = 2$, $0 \le x \le \pi$ (2) $f(x) = \frac{1}{2}(\pi - x)$, $0 \le x \le \pi$

1. 問題の内容

問題は、次の関数のフーリエ正弦級数展開を求めることです。

(1) $f(x) = 2$, $0 \le x \le \pi$

(2) $f(x) = \frac{1}{2}(\pi - x)$, $0 \le x \le \pi$

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = 2$ のフーリエ正弦級数展開を求めます。フーリエ正弦級数展開は次の式で与えられます。

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$

係数 $b_n$ は次の式で計算できます。

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

$f(x) = 2$ を代入すると、

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} 2 \sin(nx) dx = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(nx) dx$

$b_n = \frac{4}{\pi} \left[ -\frac{1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\pi} = \frac{4}{\pi} \left( -\frac{1}{n} \cos(n\pi) + \frac{1}{n} \cos(0) \right)$

$b_n = \frac{4}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) = \frac{4}{n\pi} (1 - (-1)^n)$

$n$が偶数のとき、$b_n = 0$。$n$が奇数のとき、$b_n = \frac{8}{n\pi}$。

したがって、$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8}{(2k+1)\pi} \sin((2k+1)x)$.

(2) 関数 $f(x) = \frac{1}{2}(\pi - x)$ のフーリエ正弦級数展開を求めます。

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{1}{2}(\pi - x) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^{\pi} \pi \sin(nx) dx - \int_0^{\pi} x \sin(nx) dx \right]$

$\int_0^{\pi} \pi \sin(nx) dx = \pi \left[ -\frac{1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{n} (1 - (-1)^n)$

$\int_0^{\pi} x \sin(nx) dx = \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \frac{1}{n} \cos(nx) dx = -\frac{\pi}{n} (-1)^n + \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_0^{\pi} = -\frac{\pi}{n} (-1)^n$

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\pi}{n} (1 - (-1)^n) + \frac{\pi}{n} (-1)^n \right] = \frac{1}{\pi} \frac{\pi}{n} = \frac{1}{n}$

したがって、$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(nx)$。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8}{(2k+1)\pi} \sin((2k+1)x)$

(2) $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(nx)$