与えられた関数について、指定された区間における平均変化率を求める。関数は以下の4つである。 (1) $y = 3x + 5$ (区間: 1から4) (2) $y = -x^2 + 1$ (区間: -1から3) (3) $y = x^2$ (区間: aからb) (4) $y = x^3$ (区間: aから a+h)

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された区間における平均変化率を求める。関数は以下の4つである。

(1) $y = 3x + 5$ (区間: 1から4)

(2) $y = -x^2 + 1$ (区間: -1から3)

(3) $y = x^2$ (区間: aからb)

(4) $y = x^3$ (区間: aから a+h)

2. 解き方の手順

平均変化率は、区間の端点における関数の変化量を、区間の幅で割ったものである。つまり、区間 $[x_1, x_2]$ における関数 $y = f(x)$ の平均変化率は、

$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

で求められる。

(1) $y = 3x + 5$ (区間: 1から4)

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$

$f(x_1) = f(1) = 3(1) + 5 = 8$

$f(x_2) = f(4) = 3(4) + 5 = 17$

平均変化率 = $\frac{17 - 8}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$

(2) $y = -x^2 + 1$ (区間: -1から3)

$x_1 = -1$, $x_2 = 3$

$f(x_1) = f(-1) = -(-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$

$f(x_2) = f(3) = -(3)^2 + 1 = -9 + 1 = -8$

平均変化率 = $\frac{-8 - 0}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$

(3) $y = x^2$ (区間: aからb)

$x_1 = a$, $x_2 = b$

$f(x_1) = f(a) = a^2$

$f(x_2) = f(b) = b^2$

平均変化率 = $\frac{b^2 - a^2}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a)}{b - a} = b + a = a + b$

(4) $y = x^3$ (区間: aから a+h)

$x_1 = a$, $x_2 = a + h$

$f(x_1) = f(a) = a^3$

$f(x_2) = f(a + h) = (a + h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$

平均変化率 = $\frac{(a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3) - a^3}{(a + h) - a} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) -2

(3) a + b

(4) $3a^2 + 3ah + h^2$