$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{4x}$ を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{4x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\tan x$ のマクローリン展開を考えると、$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$ となります。

したがって、$x \to 0$ のとき、$\tan x \approx x$ とみなせます。

しかし、ここでは $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ という公式を利用します。

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{4x}$

ここで、$t = 5x$ とおくと、$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{4x} = 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{4x} = 1 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4}$