関数 $f(x) = \frac{1}{2}(\pi - x)$ ($0 \le x \le \pi$) をフーリエ正弦級数展開します。具体的には、フーリエ係数 $b_n$ を求め、フーリエ級数 $f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$ を導出します。ただし、ここでは区間$[0, \pi]$で定義された関数を周期 $2\pi$ の奇関数として拡張し、フーリエ正弦級数展開を求めていることに注意します。問題の画像では、最終的に$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2nx)}{2n}$を求めています。$b_n$を求めるために積分計算をする必要があります。

はい、承知しました。以下に問題の解き方を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{2}(\pi - x)$ ($0 \le x \le \pi$) をフーリエ正弦級数展開します。具体的には、フーリエ係数 $b_n$ を求め、フーリエ級数 $f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$ を導出します。ただし、ここでは区間$[0, \pi]$で定義された関数を周期 $2\pi$ の奇関数として拡張し、フーリエ正弦級数展開を求めていることに注意します。問題の画像では、最終的に$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2nx)}{2n}$を求めています。$b_n$を求めるために積分計算をする必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

ここに、$f(x) = \frac{1}{2}(\pi - x)$ を代入します。

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{1}{2}(\pi - x) \sin(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) dx$

部分積分を使って、この積分を計算します。$u = \pi - x$, $dv = \sin(nx) dx$ とすると、$du = -dx$, $v = -\frac{1}{n}\cos(nx)$ となります。

$\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int_0^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) dx = [(\pi - x) (-\frac{1}{n}\cos(nx))]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\frac{1}{n}\cos(nx))(-dx)$

$= [-\frac{1}{n}(\pi - x)\cos(nx)]_0^{\pi} - \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \cos(nx) dx$

$= [-\frac{1}{n}(\pi - \pi)\cos(n\pi) + \frac{1}{n}(\pi - 0)\cos(0)] - \frac{1}{n}[\frac{1}{n}\sin(nx)]_0^{\pi}$

$= \frac{\pi}{n} - \frac{1}{n^2}(\sin(n\pi) - \sin(0))$

$= \frac{\pi}{n}$

したがって、$b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} = \frac{1}{n}$

よって、$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin(nx)$

問題の画像では、$x$を$2x$に置き換えているようです。

$f(x) = \frac{1}{2}(\pi - x)$を$f(2x) = \frac{1}{2}(\pi - 2x)$とした場合、

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{1}{2}(\pi - 2x) \sin(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\pi - 2x) \sin(nx) dx$

部分積分より、

$\int_0^{\pi} (\pi - 2x) \sin(nx) dx = [(\pi - 2x) (-\frac{1}{n}\cos(nx))]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-2)(-\frac{1}{n}\cos(nx)) dx$

$= [-\frac{1}{n}(\pi - 2\pi)\cos(n\pi) + \frac{1}{n}(\pi)\cos(0)] - \frac{2}{n}\int_0^{\pi} \cos(nx) dx$

$= \frac{\pi}{n}\cos(n\pi) + \frac{\pi}{n} - \frac{2}{n}[\frac{1}{n}\sin(nx)]_0^{\pi}$

$= \frac{\pi}{n}\cos(n\pi) + \frac{\pi}{n}$

$b_n = \frac{1}{\pi}(\frac{\pi}{n}\cos(n\pi) + \frac{\pi}{n}) = \frac{1}{n}(\cos(n\pi) + 1)$

$\cos(n\pi) = (-1)^n$より、

$b_n = \frac{1}{n}((-1)^n + 1)$

$n$が奇数のとき、$b_n = 0$

$n$が偶数のとき、$n = 2k$とすると、$b_{2k} = \frac{2}{2k} = \frac{1}{k}$

$f(2x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \sin(2kx)$

$f(2x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(2nx)$

問題画像と同じ結果が得られました。

3. 最終的な答え

$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2nx)}{2n}$