関数 $f(x) = x^{n-1}e^{1/x}$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{n-1}e^{1/x}$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ の場合を考えます。

$f(x) = x^{1-1}e^{1/x} = e^{1/x}$

$f'(x) = e^{1/x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2} e^{1/x}$

次に、$n=2$ の場合を考えます。

$f(x) = x^{2-1}e^{1/x} = x e^{1/x}$

$f'(x) = e^{1/x} + x e^{1/x} (-\frac{1}{x^2}) = e^{1/x} - \frac{1}{x}e^{1/x} = (1-\frac{1}{x})e^{1/x}$

$f''(x) = \frac{1}{x^2} e^{1/x} + (1-\frac{1}{x})e^{1/x} (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}e^{1/x} - \frac{1}{x^2}e^{1/x} + \frac{1}{x^3}e^{1/x} = \frac{1}{x^3} e^{1/x}$

一般の場合、$f(x) = x^{n-1}e^{1/x}$ を考えると、

$f(x) = x^{n-1}e^{1/x}$

$f'(x) = (n-1)x^{n-2}e^{1/x} + x^{n-1}e^{1/x}(-\frac{1}{x^2}) = (n-1)x^{n-2}e^{1/x} - x^{n-3}e^{1/x}$

この形から、$f^{(n)}(x)$ は $x^{-k}e^{1/x}$ の形になることが予想されます。

$f(x) = x^{n-1} e^{1/x}$ の $n$ 次導関数は、$f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{e^{1/x}}{x^{n+1}}$ となります。

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n e^{1/x}}{x^{n+1}}$