関数 $y = e^{2x}$ のマクローリン級数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{2x}$ のマクローリン級数を求める。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開であり、次のように表される。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

ここで、$f^{(n)}(0)$ は $f(x)$ の $n$ 階導関数の $x=0$ における値である。

まず、$y = e^{2x}$ の導関数をいくつか計算する。

* $y = e^{2x}$

* $y' = 2e^{2x}$

* $y'' = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

* $y''' = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

* $y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

次に、これらの導関数を $x=0$ で評価する。

* $y(0) = e^{2(0)} = e^0 = 1$

* $y'(0) = 2e^{2(0)} = 2e^0 = 2$

* $y''(0) = 4e^{2(0)} = 4e^0 = 4$

* $y'''(0) = 8e^{2(0)} = 8e^0 = 8$

* $y^{(n)}(0) = 2^n e^{2(0)} = 2^n$

これらの値をマクローリン級数の式に代入する。

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} x^n$

したがって、$e^{2x}$ のマクローリン級数は次のようになる。

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2!} + \frac{8x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$

3. 最終的な答え

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$