問題499は、数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題499は、数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、部分分数分解を行います。$\frac{1}{k(k+2)}$ を $\frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$ の形に変形します。

$1 = A(k+2) + Bk$

$1 = (A+B)k + 2A$

したがって、$A+B=0$ かつ $2A = 1$。

これから、$A = \frac{1}{2}$ であり、$B = -\frac{1}{2}$ となります。

よって、

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \right]$

これはtelescoping sumになっているので、

$= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{n+2+n+1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{3(n+1)(n+2) - 4n - 6}{2(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{4} \frac{3(n^2 + 3n + 2) - 4n - 6}{(n+1)(n+2)}$

$= \frac{1}{4} \frac{3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6}{(n+1)(n+2)}$

$= \frac{1}{4} \frac{3n^2 + 5n}{(n+1)(n+2)}$

$= \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$