関数 $y = x^2 + x - 1$ (ただし $x \geq -\frac{1}{2}$) の逆関数を $y = f(x)$ とおく。このとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x - 1$ (ただし $x \geq -\frac{1}{2}$) の逆関数を $y = f(x)$ とおく。このとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) まず、逆関数の微分公式 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ を利用する。

つまり、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ となる。

(2) $y = x^2 + x - 1$ を $x$ で微分する。

$\frac{dy}{dx} = 2x + 1$

(3) よって、$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2x+1}$

(4) したがって、$\frac{dy}{dx} = 2x + 1$

ここで、$y = x^2 + x - 1$ を $x$ について解くことを考える。

$x^2 + x - (1+y) = 0$

これを $x$ について解くと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-(1+y))}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 + 4y}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5 + 4y}}{2}$

ただし、$x \geq -\frac{1}{2}$ より、$x = \frac{-1 + \sqrt{5 + 4y}}{2}$

したがって、$2x + 1 = 2(\frac{-1 + \sqrt{5 + 4y}}{2}) + 1 = -1 + \sqrt{5+4y} + 1 = \sqrt{5+4y}$.

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2x + 1} = \frac{1}{\sqrt{5 + 4y}}$

$\frac{dy}{dx} = 2x + 1$

(5) 問題文で$\frac{dy}{dx}$を $x$ の式で表すように指示されているため、$\frac{dy}{dx}$を $y$ の式で表す必要はない。

最終的に、$dy/dx = 2x+1$。

3. 最終的な答え

$2x+1$