無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{6-1}{6})^n$ の値を求めます。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{6-1}{6})^n$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた級数は、初項が $a = \frac{6-1}{6} = \frac{5}{6}$、公比が $r = \frac{5}{6}$ の等比級数です。

$|r| = |\frac{5}{6}| < 1$ であるため、この無限等比級数は収束し、その和は次の式で計算できます。

$S = \frac{a}{1-r}$

この式に $a = \frac{5}{6}$ と $r = \frac{5}{6}$ を代入すると、

$S = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{1} = 5$

3. 最終的な答え

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