与えられた微分方程式 $\frac{dx}{dt} = kx$ を、初期条件 $t=0$ のとき $x=x_0$ の下で解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dx}{dt} = kx$ を、初期条件 $t=0$ のとき $x=x_0$ の下で解く問題です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離形なので、次のように解きます。

ステップ1: 変数を分離する。

$x$ を左辺に、$t$ を右辺に集めます。

$\frac{dx}{x} = k dt$

ステップ2: 両辺を積分する。

$\int \frac{dx}{x} = \int k dt$

$\ln|x| = kt + C$ (Cは積分定数)

ステップ3: 指数関数で書き換える。

両辺を $e$ を底とする指数関数で書き換えます。

$e^{\ln|x|} = e^{kt + C}$

$|x| = e^{kt}e^C$

$x = \pm e^C e^{kt}$

ここで、$A = \pm e^C$ と置くと、

$x = A e^{kt}$

ステップ4: 初期条件を適用する。

$t=0$ のとき $x=x_0$ なので、

$x_0 = A e^{k(0)}$

$x_0 = A e^0$

$x_0 = A$

したがって、$A = x_0$

ステップ5: 解を求める。

$A = x_0$ を $x = A e^{kt}$ に代入して、

$x = x_0 e^{kt}$

3. 最終的な答え

$x = x_0 e^{kt}$