与えられた2階常微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -2a$ を、初期条件 $t=0$ のとき $x=x_0$ かつ $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解く。ここで、$a$, $x_0$, $v_0$ は定数である。

1. 問題の内容

与えられた2階常微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -2a$ を、初期条件 $t=0$ のとき $x=x_0$ かつ $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解く。ここで、$a$, $x_0$, $v_0$ は定数である。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -2a$ を積分する。まず、両辺を $t$ で積分すると、

$$\int \frac{d^2x}{dt^2} dt = \int -2a dt$$

$$\frac{dx}{dt} = -2at + C_1$$

ここで、$C_1$ は積分定数である。

(2) 初期条件 $\frac{dx}{dt} = v_0$ at $t=0$ を用いて、$C_1$ を決定する。

$v_0 = -2a(0) + C_1$ より、 $C_1 = v_0$ となる。

したがって、

$$\frac{dx}{dt} = -2at + v_0$$

(3) さらに積分する。両辺を $t$ で積分すると、

$$\int \frac{dx}{dt} dt = \int (-2at + v_0) dt$$

$$x = -at^2 + v_0t + C_2$$

ここで、$C_2$ は積分定数である。

(4) 初期条件 $x = x_0$ at $t=0$ を用いて、$C_2$ を決定する。

$x_0 = -a(0)^2 + v_0(0) + C_2$ より、$C_2 = x_0$ となる。

したがって、

$$x = -at^2 + v_0t + x_0$$

3. 最終的な答え

$x = -at^2 + v_0t + x_0$