曲線 $y = x^2$ 上を動く点 $P(x, y)$ がある。この動点の速度ベクトルの大きさが一定 $C$ のとき、以下の問いに答えよ。ただし、動点 $P(x, y)$ は時刻 $t$ に対して $x$ が増加するように動くとする。 (1) $P(x, y)$ の速度ベクトル $\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)$ を $x$ で表せ。 (2) $P(x, y)$ の加速度ベクトル $\vec{a} = \left( \frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2} \right)$ を $x$ で表せ。 (3) 半径 $r$ の円 $x^2 + (y - r)^2 = r^2$ 上を、速度ベクトルの大きさが一定 $C$ で動く点 $Q$ があるとき、この加速度ベクトルの大きさを求めよ。 (4) 動点 $P$ と $Q$ の原点 $(0, 0)$ での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの、半径 $r$ を求めよ。

## 問題の回答

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2$ 上を動く点 $P(x, y)$ がある。この動点の速度ベクトルの大きさが一定 $C$ のとき、以下の問いに答えよ。ただし、動点 $P(x, y)$ は時刻 $t$ に対して $x$ が増加するように動くとする。

(1) $P(x, y)$ の速度ベクトル $\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)$ を $x$ で表せ。

(2) $P(x, y)$ の加速度ベクトル $\vec{a} = \left( \frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2} \right)$ を $x$ で表せ。

(3) 半径 $r$ の円 $x^2 + (y - r)^2 = r^2$ 上を、速度ベクトルの大きさが一定 $C$ で動く点 $Q$ があるとき、この加速度ベクトルの大きさを求めよ。

(4) 動点 $P$ と $Q$ の原点 $(0, 0)$ での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの、半径 $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 速度ベクトル $\vec{v}$ を $x$ で表す。

$y = x^2$ より、$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(x^2) = 2x \frac{dx}{dt}$

速度ベクトルの大きさは $C$ なので、

$C^2 = \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( 2x \frac{dx}{dt} \right)^2 = \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 (1 + 4x^2)$

$\frac{dx}{dt} = \frac{C}{\sqrt{1 + 4x^2}}$ ($x$ は増加するので正の値をとる)

$\frac{dy}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} = \frac{2Cx}{\sqrt{1 + 4x^2}}$

よって、$\vec{v} = \left( \frac{C}{\sqrt{1 + 4x^2}}, \frac{2Cx}{\sqrt{1 + 4x^2}} \right)$

(2) 加速度ベクトル $\vec{a}$ を $x$ で表す。

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{C}{\sqrt{1 + 4x^2}} \right) = C \frac{d}{dx} (1 + 4x^2)^{-1/2} \frac{dx}{dt} = C \left( -\frac{1}{2} (1 + 4x^2)^{-3/2} (8x) \right) \frac{C}{\sqrt{1 + 4x^2}} = -\frac{4C^2x}{(1 + 4x^2)^2}$

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2Cx}{\sqrt{1 + 4x^2}} \right) = 2C \frac{d}{dx} \left( x(1 + 4x^2)^{-1/2} \right) \frac{dx}{dt} = 2C \left( (1 + 4x^2)^{-1/2} + x \left( -\frac{1}{2} (1 + 4x^2)^{-3/2} (8x) \right) \right) \frac{C}{\sqrt{1 + 4x^2}} = 2C \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 4x^2}} - \frac{4x^2}{(1 + 4x^2)^{3/2}} \right) \frac{C}{\sqrt{1 + 4x^2}} = \frac{2C^2(1 + 4x^2 - 4x^2)}{(1 + 4x^2)^2} = \frac{2C^2}{(1 + 4x^2)^2}$

よって、$\vec{a} = \left( -\frac{4C^2x}{(1 + 4x^2)^2}, \frac{2C^2}{(1 + 4x^2)^2} \right)$

(3) 円 $x^2 + (y - r)^2 = r^2$ 上の点 $Q$ の加速度ベクトルの大きさを求める。

$x^2 + (y - r)^2 = r^2$ より、$2x + 2(y - r) \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y - r}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} = -\frac{x}{y - r} \frac{dx}{dt}$

$C^2 = \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 \left( 1 + \frac{x^2}{(y - r)^2} \right)$

$\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \frac{C^2}{1 + \frac{x^2}{(y - r)^2}} = \frac{C^2 (y - r)^2}{(y - r)^2 + x^2} = \frac{C^2 (y - r)^2}{r^2}$

$\frac{dx}{dt} = \frac{C(y - r)}{r}$

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{C}{r} \frac{d}{dt}(y - r) = \frac{C}{r} \frac{dy}{dt} = \frac{C}{r} \left( -\frac{x}{y - r} \frac{C(y - r)}{r} \right) = -\frac{C^2x}{r^2}$

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( -\frac{xC}{r} \right) = -\frac{C}{r} \frac{dx}{dt} = -\frac{C}{r} \frac{C(y - r)}{r} = -\frac{C^2(y - r)}{r^2}$

$\vec{a} = \left( -\frac{C^2x}{r^2}, -\frac{C^2(y - r)}{r^2} \right)$

$|\vec{a}| = \sqrt{ \left( -\frac{C^2x}{r^2} \right)^2 + \left( -\frac{C^2(y - r)}{r^2} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{C^4}{r^4} (x^2 + (y - r)^2) } = \sqrt{ \frac{C^4}{r^4} r^2 } = \frac{C^2}{r}$

(4) 動点 $P$ と $Q$ の原点 $(0, 0)$ での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの、半径 $r$ を求める。

点 $P$ の原点での加速度は、(2)より、$\vec{a} = \left( 0, 2C^2 \right)$. よって $|\vec{a}| = 2C^2$

点 $Q$ の原点での加速度は、(3)より、$|\vec{a}| = \frac{C^2}{r}$

よって、$\frac{C^2}{r} = \frac{2C^2}{1}$. 円は、x=0, y=0 を通るので、0+(0-r)^2 = r^2 より原点を通ることがわかる。

$\frac{C^2}{r} = 2C^2$ よって、$r = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{v} = \left( \frac{C}{\sqrt{1 + 4x^2}}, \frac{2Cx}{\sqrt{1 + 4x^2}} \right)$

(2) $\vec{a} = \left( -\frac{4C^2x}{(1 + 4x^2)^2}, \frac{2C^2}{(1 + 4x^2)^2} \right)$

(3) $\frac{C^2}{r}$

(4) $r = \frac{1}{2}$