アステロイド曲線 $x = \cos^3\theta$, $y = \sin^3\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) の接線の傾きが $-\sqrt{3}$ のときの $\theta$ の値を求め、そのときの接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

アステロイド曲線 $x = \cos^3\theta$, $y = \sin^3\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) の接線の傾きが $-\sqrt{3}$ のときの $\theta$ の値を求め、そのときの接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dy}{dx}$ を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

$\frac{dx}{d\theta} = -3\cos^2\theta \sin\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta \cos\theta$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\sin^2\theta \cos\theta}{-3\cos^2\theta \sin\theta} = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$

接線の傾きが $-\sqrt{3}$ であるから、

$-\tan\theta = -\sqrt{3}$

$\tan\theta = \sqrt{3}$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$\tan\theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ の値は、

$\theta = \frac{\pi}{3}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、

$x = \cos^3(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

$y = \sin^3(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

接線の方程式は、傾きが $-\sqrt{3}$ で、点 $(\frac{1}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$ を通るので、

$y - \frac{3\sqrt{3}}{8} = -\sqrt{3}(x - \frac{1}{8})$

$y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$y = -\sqrt{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{8} = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2}$

問題の形式に合わせて書き換えると

$y = -\sqrt{3}(x - \frac{1}{8}) + \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$y = -\sqrt{3} (x - (\frac{1}{8}))$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$

接線の方程式は、$y = -\sqrt{3}(x - \frac{1}{8})$である。したがって、空欄には $\frac{1}{8}$ が入る。