与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の3つの関数を微分します。 (3) $r(v) = 1 - 3v + 2v^2$ (5) $x(t) = t^2 + \frac{4}{t}$ (7) $w(z) = \frac{3z^2 + 1}{z^2}$ (8) $f(u) = u^3 + 4\sqrt{u}$

はい、承知いたしました。問題の微分を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の3つの関数を微分します。

(3) $r(v) = 1 - 3v + 2v^2$

(5) $x(t) = t^2 + \frac{4}{t}$

(7) $w(z) = \frac{3z^2 + 1}{z^2}$

(8) $f(u) = u^3 + 4\sqrt{u}$

2. 解き方の手順

(3) $r(v) = 1 - 3v + 2v^2$ の微分

$r'(v) = \frac{d}{dv}(1 - 3v + 2v^2)$

$r'(v) = \frac{d}{dv}(1) - 3\frac{d}{dv}(v) + 2\frac{d}{dv}(v^2)$

$r'(v) = 0 - 3(1) + 2(2v)$

$r'(v) = -3 + 4v$

(5) $x(t) = t^2 + \frac{4}{t}$ の微分

$x(t) = t^2 + 4t^{-1}$ と書き換えます。

$x'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + 4t^{-1})$

$x'(t) = \frac{d}{dt}(t^2) + 4\frac{d}{dt}(t^{-1})$

$x'(t) = 2t + 4(-1)t^{-2}$

$x'(t) = 2t - \frac{4}{t^2}$

(7) $w(z) = \frac{3z^2 + 1}{z^2}$ の微分

$w(z) = \frac{3z^2}{z^2} + \frac{1}{z^2}$

$w(z) = 3 + z^{-2}$

$w'(z) = \frac{d}{dz}(3 + z^{-2})$

$w'(z) = \frac{d}{dz}(3) + \frac{d}{dz}(z^{-2})$

$w'(z) = 0 + (-2)z^{-3}$

$w'(z) = -\frac{2}{z^3}$

(8) $f(u) = u^3 + 4\sqrt{u}$ の微分

$f(u) = u^3 + 4u^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

$f'(u) = \frac{d}{du}(u^3 + 4u^{\frac{1}{2}})$

$f'(u) = \frac{d}{du}(u^3) + 4\frac{d}{du}(u^{\frac{1}{2}})$

$f'(u) = 3u^2 + 4(\frac{1}{2})u^{-\frac{1}{2}}$

$f'(u) = 3u^2 + 2u^{-\frac{1}{2}}$

$f'(u) = 3u^2 + \frac{2}{\sqrt{u}}$

3. 最終的な答え

(3) $r'(v) = -3 + 4v$

(5) $x'(t) = 2t - \frac{4}{t^2}$

(7) $w'(z) = -\frac{2}{z^3}$

(8) $f'(u) = 3u^2 + \frac{2}{\sqrt{u}}$