与えられた微分方程式 $y' = \frac{6y}{6x - 2y}$ の一般解を求め、初期条件 $x=1$ のとき $y=1$ となる解を、与えられた選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = \frac{6y}{6x - 2y}$ の一般解を求め、初期条件 $x=1$ のとき $y=1$ となる解を、与えられた選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を解きます。

$y' = \frac{6y}{6x - 2y}$ は同次形であるため、$y = vx$ とおいて変数変換を行います。

すると、$y' = v + x\frac{dv}{dx}$ となります。

これを元の式に代入すると、

$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{6vx}{6x - 2vx} = \frac{6v}{6 - 2v}$

となります。したがって、

$x\frac{dv}{dx} = \frac{6v}{6 - 2v} - v = \frac{6v - 6v + 2v^2}{6 - 2v} = \frac{2v^2}{6 - 2v} = \frac{v^2}{3 - v}$

となります。

変数分離を行うと、

$\frac{3 - v}{v^2} dv = \frac{1}{x} dx$

$\int (\frac{3}{v^2} - \frac{1}{v}) dv = \int \frac{1}{x} dx$

$-\frac{3}{v} - \log|v| = \log|x| + C$

$-\frac{3}{y/x} - \log|\frac{y}{x}| = \log|x| + C$

$-\frac{3x}{y} - \log|y| + \log|x| = \log|x| + C$

$-\frac{3x}{y} - \log|y| = C$

$\frac{-3x}{y} - \log|y| = C$

この一般解に初期条件 $x=1, y=1$ を代入すると、

$-3 - \log|1| = C$

$-3 - 0 = C$

$C = -3$

したがって、特殊解は

$-\frac{3x}{y} - \log|y| = -3$

$\frac{3x}{y} + \log|y| = 3$

$3 \frac{x}{y} + \log|y| = 3$

3. 最終的な答え

4. $3 \frac{x}{y} - \log|y| = 3$