3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 関数 $f(x)$ の極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めます。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(-2, f(-2))$ における接線 $l$ の方程式を $y = g(x)$ とし、$g(x)$を求めます。また、曲線 $y = f(x)$ と直線 $l$ の共有点のうち、点 $A$ 以外の点の座標を求めます。さらに、直線 $l$ と平行な接線のうち、直線 $l$ 以外の接線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答します。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 関数 $f(x)$ の極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めます。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(-2, f(-2))$ における接線 $l$ の方程式を $y = g(x)$ とし、$g(x)$を求めます。また、曲線 $y = f(x)$ と直線 $l$ の共有点のうち、点 $A$ 以外の点の座標を求めます。さらに、直線 $l$ と平行な接線のうち、直線 $l$ 以外の接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 極大値と極小値を求める。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

$(3x + 5)(x - 1) = 0$

$x = -\frac{5}{3}, 1$

$f'(x)$ の符号を調べます。

$x < -\frac{5}{3}$ のとき、$f'(x) > 0$

$-\frac{5}{3} < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -\frac{5}{3}$ で極大値、 $x = 1$ で極小値をとります。

極大値 $f(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - 5(-\frac{5}{3}) - 4 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 4 = \frac{-125 + 75 + 225 - 108}{27} = \frac{67}{27}$

極小値 $f(1) = 1^3 + 1^2 - 5(1) - 4 = 1 + 1 - 5 - 4 = -7$

(2) 接線の方程式を求める。

点 $A(-2, f(-2))$ における接線を求める。

$f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) - 4 = -8 + 4 + 10 - 4 = 2$

よって、点Aの座標は $(-2, 2)$

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$ より、$f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3$

したがって、点 $A$ における接線の方程式は、

$y - 2 = 3(x + 2)$

$y = 3x + 6 + 2$

$y = 3x + 8$

$y = f(x)$ と $y = 3x + 8$ の交点を求める。

$x^3 + x^2 - 5x - 4 = 3x + 8$

$x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$

$(x + 2)^2(x - 3) = 0$

$x = -2, 3$

点 $A$ 以外の交点の $x$ 座標は $x = 3$ である。

$y = 3(3) + 8 = 9 + 8 = 17$

したがって、点 $A$ 以外の交点の座標は $(3, 17)$

直線 $l$ と平行な接線を求める。

直線 $l$ の傾きは $3$ なので、$f'(x) = 3$ となる $x$ を求める。

$3x^2 + 2x - 5 = 3$

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

$(3x - 4)(x + 2) = 0$

$x = \frac{4}{3}, -2$

$x = -2$ は点 $A$ なので、$x = \frac{4}{3}$ を考える。

$f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 + (\frac{4}{3})^2 - 5(\frac{4}{3}) - 4 = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{20}{3} - 4 = \frac{64 + 48 - 180 - 108}{27} = \frac{-176}{27}$

接線の方程式は、

$y - (-\frac{176}{27}) = 3(x - \frac{4}{3})$

$y = 3x - 4 - \frac{176}{27}$

$y = 3x - \frac{108}{27} - \frac{176}{27}$

$y = 3x - \frac{284}{27}$

3. 最終的な答え

(1)

極大値：$\frac{67}{27}$ ($x = -\frac{5}{3}$のとき)

極小値：$-7$ ($x = 1$のとき)

(2)

接線の方程式：$y = 3x + 8$

点 $A$ 以外の点の座標：$(3, 17)$

直線 $l$ 以外の接線の方程式：$y = 3x - \frac{284}{27}$

ウ: -5/3

エオ: 67/27

ク: 1

ケコ: -7

サ: 3

シ: 8

ス: 3

セソ: 17

タ: 3

チッテ: 284

トナ: 27