与えられた極限を計算します。問題は、 $\lim_{x \to \infty} x(\arctan(x) - \frac{\pi}{2})$ を計算することです。これは、 $\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan(x) - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}}$ と書き換えることができます。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は、

$\lim_{x \to \infty} x(\arctan(x) - \frac{\pi}{2})$

を計算することです。これは、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan(x) - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}}$

と書き換えることができます。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

まず、$\arctan(x)$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であり、$\frac{1}{x}$ の微分は $-\frac{1}{x^2}$ であることを思い出します。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan(x) - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{1+x^2}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{x^2(1+\frac{1}{x^2})}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{1+\frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{1+\frac{1}{x^2}} = \frac{-1}{1+0} = -1$

3. 最終的な答え

-1