次の極限を求める問題です。 $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}{\tan x}$$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}{\tan x}$$

2. 解き方の手順

与えられた極限は、

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{(x-\frac{\pi}{2})\tan x}$$

と書き換えられます。ここで、$x - \frac{\pi}{2} = t$とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$となり、$x \to \frac{\pi}{2}$のとき、$t \to 0$となります。したがって、

$$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t \tan(t+\frac{\pi}{2})} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t (-\cot t)} = \lim_{t \to 0} \frac{-1}{t \cot t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\tan t}{t}$$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1$を用いると、

$$\lim_{t \to 0} \frac{-\tan t}{t} = -1$$

したがって、求める極限は-1となります。

3. 最終的な答え

-1