与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を$x$を用いて表す。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を$x$を用いて表す。

2. 解き方の手順

**(1) $y = (x+1)\sqrt{2x+3}$**

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使う。

$u = x+1$, $v = \sqrt{2x+3}$ とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{2\sqrt{2x+3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$

したがって、

$$y' = 1 \cdot \sqrt{2x+3} + (x+1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+3}} = \sqrt{2x+3} + \frac{x+1}{\sqrt{2x+3}}$$

通分して整理する。

$$y' = \frac{(2x+3) + (x+1)}{\sqrt{2x+3}} = \frac{3x+4}{\sqrt{2x+3}}$$

**(2) $y = \frac{\sin x + 2\cos x}{2\sin x - \cos x}$**

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使う。

$u = \sin x + 2\cos x$, $v = 2\sin x - \cos x$ とすると、

$u' = \cos x - 2\sin x$, $v' = 2\cos x + \sin x$

したがって、

$$y' = \frac{(\cos x - 2\sin x)(2\sin x - \cos x) - (\sin x + 2\cos x)(2\cos x + \sin x)}{(2\sin x - \cos x)^2}$$

分子を展開して整理する。

$$y' = \frac{(2\sin x\cos x - \cos^2 x - 4\sin^2 x + 2\sin x \cos x) - (2\sin x \cos x + \sin^2 x + 4\cos^2 x + 2\sin x \cos x)}{(2\sin x - \cos x)^2}$$

$$y' = \frac{-5\sin^2 x - 5\cos^2 x}{(2\sin x - \cos x)^2} = \frac{-5(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(2\sin x - \cos x)^2} = \frac{-5}{(2\sin x - \cos x)^2}$$

**(3) $y = \frac{\log(1+x^2)}{1+x^2}$**

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使う。

$u = \log(1+x^2)$, $v = 1+x^2$ とすると、

$u' = \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^2}$, $v' = 2x$

したがって、

$$y' = \frac{\frac{2x}{1+x^2} (1+x^2) - \log(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2x - 2x \log(1+x^2)}{(1+x^2)^2}$$

$$y' = \frac{2x(1 - \log(1+x^2))}{(1+x^2)^2}$$

**(4) $y = e^{\sin 2x} \tan x$**

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使う。

$u = e^{\sin 2x}$, $v = \tan x$ とすると、

$u' = e^{\sin 2x} \cdot \cos 2x \cdot 2 = 2e^{\sin 2x} \cos 2x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$$y' = 2e^{\sin 2x} \cos 2x \cdot \tan x + e^{\sin 2x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = e^{\sin 2x} (2\cos 2x \tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$$

**(5) $y = \sin(\cos x)$**

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を使う。

したがって、

$$y' = \cos(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x)$$

**(6) $y = x^x$ ($x>0$)**

両辺の自然対数を取る。

$\log y = \log x^x = x \log x$

両辺を$x$で微分する。

$\frac{1}{y} \cdot y' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$y' = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{3x+4}{\sqrt{2x+3}}$

(2) $y' = \frac{-5}{(2\sin x - \cos x)^2}$

(3) $y' = \frac{2x(1 - \log(1+x^2))}{(1+x^2)^2}$

(4) $y' = e^{\sin 2x} (2\cos 2x \tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $y' = -\sin x \cos(\cos x)$

(6) $y' = x^x (\log x + 1)$