$g, h$ を区間 $I$ 上の連続関数とし、$h(x) > 0$ (すべての $x \in (a, b)$ に対して) とする。このとき、ある $c \in (a, b)$ が存在して、以下の等式が成り立つことを証明する必要があります。 $\int_a^b g(x)h(x) dx = g(c) \int_a^b h(x) dx$ これは、積分に関する平均値の定理の拡張版にあたります。

1. 問題の内容

$g, h$ を区間 $I$ 上の連続関数とし、$h(x) > 0$ (すべての $x \in (a, b)$ に対して) とする。このとき、ある $c \in (a, b)$ が存在して、以下の等式が成り立つことを証明する必要があります。

$\int_a^b g(x)h(x) dx = g(c) \int_a^b h(x) dx$

これは、積分に関する平均値の定理の拡張版にあたります。

2. 解き方の手順

まず、$g(x)$ の最大値と最小値をそれぞれ $M$ と $m$ とします。$g$ は閉区間 $[a, b]$ 上で連続なので、最大値と最小値の定理より、$g(x)$ は $[a, b]$ 上で最大値 $M$ と最小値 $m$ を取ります。

$m \leq g(x) \leq M$

ここで、$h(x) > 0$ なので、上記の不等式に $h(x)$ を掛けても不等号の向きは変わりません。

$m h(x) \leq g(x)h(x) \leq M h(x)$

次に、この不等式を $a$ から $b$ まで積分します。積分は不等号を保存するため、

$\int_a^b m h(x) dx \leq \int_a^b g(x) h(x) dx \leq \int_a^b M h(x) dx$

$m$ と $M$ は定数なので、積分の外に出すことができます。

$m \int_a^b h(x) dx \leq \int_a^b g(x) h(x) dx \leq M \int_a^b h(x) dx$

ここで、$H = \int_a^b h(x) dx$ と定義します。$h(x) > 0$ なので、$H > 0$ です。したがって、上記の不等式を $H$ で割ることができます。

$m \leq \frac{\int_a^b g(x) h(x) dx}{\int_a^b h(x) dx} \leq M$

ここで、中間値の定理を適用します。$g(x)$ は連続関数であり、$m$ と $M$ はそれぞれ $g(x)$ の最小値と最大値なので、$m \leq g(c) \leq M$ を満たす $c \in [a, b]$ が存在します。

したがって、

$\frac{\int_a^b g(x) h(x) dx}{\int_a^b h(x) dx} = g(c)$

となる $c \in [a, b]$ が存在します。 これを変形すると、

$\int_a^b g(x) h(x) dx = g(c) \int_a^b h(x) dx$

となります。ここで、$c$ が $(a, b)$ に属することを示す必要があります。$g(x)$ が定数関数でない場合、上記の議論より $c \in (a,b)$ であることがわかります。$g(x)$ が定数関数の場合は明らかに成立します。

3. 最終的な答え

したがって、ある $c \in (a, b)$ が存在し、

$\int_a^b g(x)h(x) dx = g(c) \int_a^b h(x) dx$

が成り立ちます。