関数 $f(x)$ について、$1+2x-3x^2 \le f(x) \le 1+2x+3x^2$ が成り立つとき、$f'(0)$ を右側極限と左側極限を考えることによって求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ について、$1+2x-3x^2 \le f(x) \le 1+2x+3x^2$ が成り立つとき、$f'(0)$ を右側極限と左側極限を考えることによって求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式から、関数 $f(x)$ の $x=0$ における極限値を求めます。

$x \to 0$ のとき、$1+2x-3x^2 \to 1$ であり、$1+2x+3x^2 \to 1$ です。

したがって、挟み撃ちの原理より、$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ となります。

次に、$f'(0)$ を求めるために、導関数の定義を考えます。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}$

ここで、 $f(0)$ の値を求めます。与えられた不等式に $x=0$ を代入すると、

$1+2(0)-3(0)^2 \le f(0) \le 1+2(0)+3(0)^2$

$1 \le f(0) \le 1$

したがって、$f(0) = 1$ となります。

よって、$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$

与えられた不等式 $1+2x-3x^2 \le f(x) \le 1+2x+3x^2$ を変形して、$f(x) - 1$ の範囲を求めます。

$2x - 3x^2 \le f(x) - 1 \le 2x + 3x^2$

この不等式を $x$ で割ると ($x > 0$ の場合)、

$2 - 3x \le \frac{f(x) - 1}{x} \le 2 + 3x$

$x \to +0$ のとき、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{x \to +0} \frac{f(x) - 1}{x} = 2$

同様に、$x < 0$ の場合、与えられた不等式を $x$ で割ると、不等号の向きが反転します。

$2 - 3x \ge \frac{f(x) - 1}{x} \ge 2 + 3x$

$2 + 3x \le \frac{f(x) - 1}{x} \le 2 - 3x$

$x \to -0$ のとき、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{x \to -0} \frac{f(x) - 1}{x} = 2$

右側極限と左側極限が一致するので、$f'(0) = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$f'(0) = 2$