与えられた関数を微分する問題です。関数は $f(x) = \frac{e^{\arctan x}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。関数は

$f(x) = \frac{e^{\arctan x}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、商の微分法と合成関数の微分法を用います。

商の微分法は、$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ であり、合成関数の微分法は、$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$です。

まず、$u = e^{\arctan x}(x-1)$、$v = \sqrt{1+x^2}$ とおきます。

次に、$u$を微分します。積の微分法を用いると、

$u' = (e^{\arctan x})'(x-1) + e^{\arctan x}(x-1)'$

ここで、$(e^{\arctan x})' = e^{\arctan x} \cdot (\arctan x)' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

したがって、

$u' = \frac{e^{\arctan x}}{1+x^2} (x-1) + e^{\arctan x} = e^{\arctan x} \left( \frac{x-1}{1+x^2} + 1 \right) = e^{\arctan x} \frac{x-1+1+x^2}{1+x^2} = e^{\arctan x} \frac{x^2+x}{1+x^2}$

次に、$v$を微分します。

$v' = (\sqrt{1+x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

したがって、

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{e^{\arctan x} \frac{x^2+x}{1+x^2} \sqrt{1+x^2} - e^{\arctan x} (x-1) \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} }{1+x^2}$

$= \frac{e^{\arctan x} \frac{x(x+1)}{\sqrt{1+x^2}} - e^{\arctan x} \frac{x(x-1)}{\sqrt{1+x^2}} }{1+x^2} = \frac{e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)} \left( x(x+1) - x(x-1) \right)$

$= \frac{e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)} \left( x^2+x - x^2+x \right) = \frac{e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)} (2x) = \frac{2x e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{3/2}}$