## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題5は、方程式 $(x^2-1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つことを示す問題です。

問題6は、関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求める問題です。

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2. 解き方の手順

### 問題5

関数 $f(x) = (x^2-1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1$ とおく。

$f(0) = (0^2 - 1)\cos 0 + \sqrt{2}\sin 0 - 1 = -1 - 1 = -2$

$f(1) = (1^2 - 1)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = \sqrt{2}\sin 1 - 1$

ここで、$0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < \sin 1 < 1$ なので、$\sqrt{2}\sin 1 < \sqrt{2} < 2$。

$\sin 1 \approx 0.8415$ なので、$\sqrt{2} \sin 1 \approx 1.1892 \times 0.8415 \approx 1.0007 > 1$

したがって、$f(1) = \sqrt{2}\sin 1 - 1 > 0$

$f(0) = -2 < 0$ かつ $f(1) > 0$ であるから、中間値の定理より、開区間 $(0, 1)$ において $f(x) = 0$ となる実数解を持つ。

### 問題6

$y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求める。

まず、$y$と$x$を入れ替える。

$x = \frac{1}{2}y + \sqrt{y+1}$

$\sqrt{y+1} = x - \frac{1}{2}y$

両辺を2乗すると、

$y+1 = (x-\frac{1}{2}y)^2 = x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2$

$\frac{1}{4}y^2 - (x+1)y + x^2 - 1 = 0$

両辺に4をかけて、

$y^2 - 4(x+1)y + 4(x^2 - 1) = 0$

$y$ についての二次方程式を解く。

$y = \frac{4(x+1) \pm \sqrt{16(x+1)^2 - 16(x^2-1)}}{2} = 2(x+1) \pm \sqrt{4(x^2+2x+1) - 4(x^2-1)} = 2(x+1) \pm \sqrt{4x^2+8x+4 - 4x^2 + 4} = 2(x+1) \pm \sqrt{8x+8} = 2(x+1) \pm 2\sqrt{2x+2}$

$y = 2(x+1) \pm 2\sqrt{2(x+1)}$

ここで、$x+1 \geq 0$ つまり $x \geq -1$ である。

$y=\frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$の定義域は$x \geq -1$である.

$y$ の取りうる値の範囲は、$y \geq \frac{1}{2}(-1) + \sqrt{-1+1} = -\frac{1}{2}$. $x$について微分すると、$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.　$x\geq -1$より、$\frac{dy}{dx}>0$ よって$y$は単調増加.

$y$の取りうる範囲は、 $y \geq -\frac{1}{2}$. よって逆関数の定義域は$x\geq -\frac{1}{2}$.

$y = 2(x+1) - 2\sqrt{2x+2}$

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3. 最終的な答え

問題5：

方程式 $(x^2-1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ は、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つ。

問題6：

$y = 2(x+1) - 2\sqrt{2(x+1)}$, $x\geq -\frac{1}{2}$