与えられた関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}}$ を微分する問題です。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ とおきます。ここで、

$u(x) = \sin x$

$v(x) = \sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$

商の微分公式を用いると、

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

となります。

$u(x)$ の微分は

$u'(x) = \cos x$

です。

次に、$v(x)$ の微分を計算します。

$v(x) = (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分公式を用いると、

$v'(x) = \frac{1}{2} (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)'$

となります。

$(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)'$ を計算します。

$(a^2 \cos^2 x)' = a^2 \cdot 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2a^2 \sin x \cos x$

$(b^2 \sin^2 x)' = b^2 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = 2b^2 \sin x \cos x$

したがって、

$(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)' = -2a^2 \sin x \cos x + 2b^2 \sin x \cos x = 2(b^2 - a^2) \sin x \cos x$

これより、

$v'(x) = \frac{1}{2} (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2(b^2 - a^2) \sin x \cos x = \frac{(b^2 - a^2) \sin x \cos x}{\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}}$

$f'(x) = \frac{\cos x \sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} - \sin x \cdot \frac{(b^2 - a^2) \sin x \cos x}{\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}}}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$

$f'(x) = \frac{\cos x (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x) - (b^2 - a^2) \sin^2 x \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{\frac{3}{2}}}$

$f'(x) = \frac{a^2 \cos^3 x + b^2 \sin^2 x \cos x - b^2 \sin^2 x \cos x + a^2 \sin^2 x \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{\frac{3}{2}}}$

$f'(x) = \frac{a^2 \cos^3 x + a^2 \sin^2 x \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{\frac{3}{2}}}$

$f'(x) = \frac{a^2 \cos x (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{\frac{3}{2}}}$

$f'(x) = \frac{a^2 \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{a^2 \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{\frac{3}{2}}}$