次の値を求めよ。 (1) $\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\sin(2\cos^{-1} \frac{1}{5})$ (3) $\cos(\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{7}{9})$

1. 問題の内容

次の値を求めよ。

(1) $\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sin(2\cos^{-1} \frac{1}{5})$

(3) $\cos(\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{7}{9})$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求める。

$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。

$\theta = \frac{\pi}{3}$ が条件を満たす。

(2) $\sin(2\cos^{-1} \frac{1}{5})$

$\theta = \cos^{-1} \frac{1}{5}$ とおく。このとき、$\cos \theta = \frac{1}{5}$ である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\theta = \cos^{-1} \frac{1}{5}$ なので、$0 \le \theta \le \pi$。したがって、$\sin \theta \ge 0$ より、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\sin(2\cos^{-1} \frac{1}{5}) = \sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{25}$

(3) $\cos(\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{7}{9})$

$\alpha = \sin^{-1} \frac{1}{3}$, $\beta = \sin^{-1} \frac{7}{9}$ とおく。

$\sin \alpha = \frac{1}{3}$, $\sin \beta = \frac{7}{9}$

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{7}{9})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{81}} = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{9} = \frac{16}{27} - \frac{7}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$

(2) $\frac{4\sqrt{6}}{25}$

(3) $\frac{1}{3}$