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与えられた3次関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 2$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$f(x)$ の極大値、極小値を与える $x$ の値を求めます。 (2) $a$ を正の定数とし、$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が $f(x)$ の極大値と一致するときの $a$ の値の範囲を求めます。 (3) 方程式 $f(x) = k$ の異なる正の解が2個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求めます。

解析学微分3次関数極値最大値方程式の解導関数
2025/6/10

1. 問題の内容

与えられた3次関数 f(x)=x3−9x2+15x−2f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 2 について、以下の問いに答える問題です。
(1) f(x)f(x) の導関数 f′(x)f'(x) を求め、f(x)f(x) の極大値、極小値を与える xx の値を求めます。
(2) aa を正の定数とし、0≤x≤a0 \le x \le a における f(x)f(x) の最大値が f(x)f(x) の極大値と一致するときの aa の値の範囲を求めます。
(3) 方程式 f(x)=kf(x) = k の異なる正の解が2個であるときの定数 kk の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) f(x)f(x) を微分して f′(x)f'(x) を求めます。
f′(x)=3x2−18x+15=3(x2−6x+5)=3(x−1)(x−5)f'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x^2 - 6x + 5) = 3(x - 1)(x - 5)
f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx の値は x=1,5x = 1, 5 です。
x<1x < 1 で f′(x)>0f'(x) > 0、1<x<51 < x < 5 で f′(x)<0f'(x) < 0、x>5x > 5 で f′(x)>0f'(x) > 0 となるので、x=1x = 1 で極大、x=5x = 5 で極小となります。
x=1x=1 のとき f(1)=1−9+15−2=5f(1) = 1 - 9 + 15 - 2 = 5
x=5x=5 のとき f(5)=125−225+75−2=−27f(5) = 125 - 225 + 75 - 2 = -27
(2) 0≤x≤a0 \le x \le a における f(x)f(x) の最大値が極大値 f(1)=5f(1) = 5 と一致するためには、a≤5a \le 5 である必要があります。また、a>0a > 0 である必要があります。
したがって、1≤a≤51 \le a \le 5 の範囲で、0≤x≤a0 \le x \le a で常に最大値が f(1)f(1) となるためには、1≤a≤51 \le a \le 5である必要があります。
特にx=0x=0のとき、f(0)=−2f(0)=-2なので、0<10 < 1より、aaの下限は1となります。
(3) 方程式 f(x)=kf(x) = k の異なる正の解が2個であるためには、f(x)f(x) のグラフと直線 y=ky = k が正の範囲で2点で交わる必要があります。
f(x)f(x) は x=1x = 1 で極大値5をとり、x=5x = 5 で極小値-27をとるので、グラフを描くと、0<x<10<x<1の範囲でy切片が-2なので、f(x)=kf(x) = kが正の解を2つ持つためには、k=5k = 5または−2<k≤−27-2 < k \le -27は不適切、よって −2<k<5 -2 < k < 5 とすればよい。 k=−2k = -2 または 5<k5 < k でもない。0<k<50<k<5の範囲において2個の正の解をもつ必要がある。
したがって、k=5k = 5 と、−2<k<5 -2 < k < 5 に注目して、0<x<1の範囲で一つ解が存在するので、1<x<51<x<5の間で解が1つ存在するように k=5k=5とする。またはk=−2k=-2となるときに正の解が2個ではない。
x>0x > 0 の条件があるので、k=5k=5、または、 −2<k≤5-2 < k \le 5となる。

3. 最終的な答え

(1) f′(x)=3x2−18x+15f'(x) = 3x^2 - 18x + 15、 x=1x = 1のとき極大値5、 x=5x = 5のとき極小値-27
(2) 1≤a≤51 \le a \le 5
(3) k=5k = 5または、−2<k<5-2 < k < 5
したがって、k=5 または -2<k<5
したがって、 k=5k = 5または −2<k<5-2 < k < 5
ソタチは -2、ツテは5
最終的な答え：

1. 問題の内容

3次関数 f(x)=x3−9x2+15x−2f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 2 に関する問題。導関数の計算、極値の判定、最大値と範囲、方程式の解の個数と定数の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 f′(x)f'(x) を計算し、極値を与える xx を求めます。
f′(x)=3x2−18x+15=3(x−1)(x−5)f'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x-1)(x-5).
f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは x=1,5x=1, 5.
x=1x=1 で極大値 f(1)=5f(1) = 5, x=5x=5 で極小値 f(5)=−27f(5) = -27.
(2) 0≤x≤a0 \le x \le a で f(x)f(x) の最大値が f(1)=5f(1) = 5 となる aa の範囲を求めます。1≤a≤51 \le a \le 5
(3) f(x)=kf(x) = k が異なる正の解を2つ持つ kk の範囲は、k=5k = 5 または −2<k<5-2 < k < 5.

3. 最終的な答え

(1) ア=3, イウ=18, エオ=15, カ=1, キ=5, ク=5, ケコサ=-27
(2) シ=1, ス=5
(3) セ=5, ソタチ=-2, ツテ=5

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