与えられた広義積分の値を求めます。問題は次の通りです。 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた広義積分の値を求めます。問題は次の通りです。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ の原始関数を求めます。

これは $\arcsin(x)$ であることが知られています。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin(x) + C$

次に、広義積分を計算します。積分範囲の端点である$x = -1$と$x = 1$で被積分関数が定義されていないため、極限を用いて広義積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \lim_{a \to -1^+} \lim_{b \to 1^-} \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

$\int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin(x) \Big|_a^b = \arcsin(b) - \arcsin(a)$

ここで、$b \to 1^-$ および $a \to -1^+$ の極限を取ります。

$\lim_{b \to 1^-} \arcsin(b) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$

$\lim_{a \to -1^+} \arcsin(a) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$