問題9(1): $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ の不定積分を求め、さらに$\int_1^2 f(x) dx$ の値を求めよ。 問題9(2): $f(x) = \sqrt[3]{x} + x^{\frac{2}{3}}$ の不定積分を求めよ。 問題10(1): $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}) dx$ を求めよ。 問題10(2): $\int_0^1 (x+1)^2 dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題9(1): $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ の不定積分を求め、さらに$\int_1^2 f(x) dx$ の値を求めよ。

問題9(2): $f(x) = \sqrt[3]{x} + x^{\frac{2}{3}}$ の不定積分を求めよ。

問題10(1): $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}) dx$ を求めよ。

問題10(2): $\int_0^1 (x+1)^2 dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問題9(1):

まず、$f(x)$ を $x$ の冪で表すと、$f(x) = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$ となる。

不定積分は、

$\int f(x) dx = \int (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

定積分は、

$\int_1^2 f(x) dx = [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}]_1^2 = (\frac{2}{3} 2^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{2}) - (\frac{2}{3} + 2) = \frac{4}{3} \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \sqrt{2} - \frac{8}{3} = \frac{10 \sqrt{2} - 8}{3}$

問題9(2):

$f(x) = x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}$ の不定積分は、

$\int f(x) dx = \int (x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}) dx = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

問題10(1):

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}) dx = [-\cos x + \sin x + \tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (-\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{4}) - (-\cos 0 + \sin 0 + \tan 0) = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) - (-1 + 0 + 0) = 1 - (-1) = 2$

問題10(2):

$\int_0^1 (x+1)^2 dx = \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = [\frac{x^3}{3} + x^2 + x]_0^1 = (\frac{1}{3} + 1 + 1) - (0+0+0) = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

問題9(1): 不定積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$、定積分は $\frac{10\sqrt{2}-8}{3}$.

問題9(2): 不定積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$.

問題10(1): $2$.

問題10(2): $\frac{7}{3}$.