## 問題の解答

## 問題の解答

画像の数学の問題を解きます。具体的には、以下の定積分を計算します。

1. $\int_{-1}^{2} dx$

2. $\int_{0}^{1} 2^x dx$

3. $\int_{1}^{0} x^3 dx$（積分範囲の順序を修正しました）

4. $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3}$

5. $\int_{1}^{2} (e^x - \frac{1}{x}) dx$

6. $\int_{0}^{1} (\log 2) 2^x dx$

7. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{2}{\cos^2 x} + 3\sin x) dx$

8. $\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx$

## 解き方の手順と答え

以下に、それぞれの問題の解き方と答えを示します。

1. $\int_{-1}^{2} dx$

* 手順：

定積分 $\int_{a}^{b} dx$ は $[x]_a^b$ と計算できます。

したがって、$\int_{-1}^{2} dx = [x]_{-1}^{2}$ となります。

* 計算：

$[x]_{-1}^{2} = 2 - (-1) = 3$

* 答え：3

2. $\int_{0}^{1} 2^x dx$

* 手順：

$2^x$ の積分は $\frac{2^x}{\log 2}$ です。したがって、$\int_{0}^{1} 2^x dx = [\frac{2^x}{\log 2}]_{0}^{1}$となります。

* 計算：

$[\frac{2^x}{\log 2}]_{0}^{1} = \frac{2^1}{\log 2} - \frac{2^0}{\log 2} = \frac{2}{\log 2} - \frac{1}{\log 2} = \frac{1}{\log 2}$

* 答え：$\frac{1}{\log 2}$

3. $\int_{1}^{0} x^3 dx$

* 手順：

積分範囲を修正します：$\int_{1}^{0} x^3 dx = - \int_{0}^{1} x^3 dx$

$x^3$ の積分は $\frac{x^4}{4}$ です。したがって、$-\int_{0}^{1} x^3 dx = -[\frac{x^4}{4}]_{0}^{1}$となります。

* 計算：

$-[\frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = -(\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4}) = -\frac{1}{4}$

* 答え：$-\frac{1}{4}$

4. $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3}$

* 手順：

$\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ なので、積分は $\int_{1}^{2} x^{-3} dx$ となります。

$x^{-3}$ の積分は $\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ です。

したがって、$\int_{1}^{2} x^{-3} dx = [-\frac{1}{2x^2}]_{1}^{2}$となります。

* 計算：

$[-\frac{1}{2x^2}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2(2^2)} - (-\frac{1}{2(1^2)}) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{-1+4}{8} = \frac{3}{8}$

* 答え：$\frac{3}{8}$

5. $\int_{1}^{2} (e^x - \frac{1}{x}) dx$

* 手順：

$\int_{1}^{2} (e^x - \frac{1}{x}) dx = \int_{1}^{2} e^x dx - \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$

$e^x$ の積分は $e^x$ であり、$\frac{1}{x}$ の積分は $\log |x|$ です。

したがって、$\int_{1}^{2} (e^x - \frac{1}{x}) dx = [e^x - \log |x|]_{1}^{2}$となります。

* 計算：

$[e^x - \log |x|]_{1}^{2} = (e^2 - \log 2) - (e^1 - \log 1) = e^2 - \log 2 - e + 0 = e^2 - e - \log 2$

* 答え：$e^2 - e - \log 2$

6. $\int_{0}^{1} (\log 2) 2^x dx$

* 手順：

$\int_{0}^{1} (\log 2) 2^x dx = (\log 2) \int_{0}^{1} 2^x dx$

$2^x$ の積分は $\frac{2^x}{\log 2}$ です。

したがって、$(\log 2) \int_{0}^{1} 2^x dx = (\log 2) [\frac{2^x}{\log 2}]_{0}^{1} = [2^x]_{0}^{1}$ となります。

* 計算：

$[2^x]_{0}^{1} = 2^1 - 2^0 = 2 - 1 = 1$

* 答え：1

7. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{2}{\cos^2 x} + 3\sin x) dx$

* 手順：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{2}{\cos^2 x} + 3\sin x) dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2 x} dx + 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$

$\frac{1}{\cos^2 x}$ の積分は $\tan x$ であり、$\sin x$ の積分は $-\cos x$ です。

したがって、$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2 x} dx + 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [2\tan x - 3\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ となります。

* 計算：

$[2\tan x - 3\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to \pi/2^-} (2 \tan x - 3\cos x) - (2\tan 0 - 3\cos 0)$

$= \lim_{x \to \pi/2^-} (2 \tan x - 3\cos x) - (0 - 3) = \infty$

発散するので、答えは存在しません。

* 答え：発散

8. $\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx$

* 手順：

$\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx = 2\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx + 3\int_{1}^{2} x^{-2} dx$

$\frac{1}{x}$ の積分は $\log |x|$ であり、$x^{-2}$ の積分は $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$ です。

したがって、$2\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx + 3\int_{1}^{2} x^{-2} dx = [2\log |x| - \frac{3}{x}]_{1}^{2}$ となります。

* 計算：

$[2\log |x| - \frac{3}{x}]_{1}^{2} = (2\log 2 - \frac{3}{2}) - (2\log 1 - \frac{3}{1}) = 2\log 2 - \frac{3}{2} - (0 - 3) = 2\log 2 - \frac{3}{2} + 3 = 2\log 2 + \frac{3}{2}$

* 答え：$2\log 2 + \frac{3}{2}$