$a$を正の実数とします。$x > 0$において、曲線 $y = \log x$と曲線 $y = \sqrt{ax}$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$a$を正の実数とします。$x > 0$において、曲線 $y = \log x$と曲線 $y = \sqrt{ax}$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2つの曲線$y = \log x$と$y = \sqrt{ax}$が共有点を持たない条件を考えます。

共有点を持たないということは、方程式$\log x = \sqrt{ax}$が解を持たないということと同値です。

まず、$y = \log x$と$y = \sqrt{ax}$のグラフが接する場合を考えます。接するということは、ある$x$の値で$\log x = \sqrt{ax}$かつ、それぞれの導関数が等しいということです。

$y = \log x$の導関数は$y' = \frac{1}{x}$であり、$y = \sqrt{ax}$の導関数は$y' = \frac{a}{2\sqrt{ax}} = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}}$です。

したがって、接点において以下の2つの式が成り立ちます。

$\log x = \sqrt{ax}$

$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}}$

2番目の式から、$\sqrt{x} = \frac{2}{\sqrt{a}}$となり、$x = \frac{4}{a}$が得られます。

これを1番目の式に代入すると、

$\log (\frac{4}{a}) = \sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = \sqrt{4} = 2$

$\frac{4}{a} = e^2$

$a = \frac{4}{e^2}$

となります。

$a > \frac{4}{e^2}$のとき、2つのグラフは共有点を持ちます。したがって、共有点を持たない$a$の範囲は$0 < a \le \frac{4}{e^2}$となります。

3. 最終的な答え

$0 < a \le \frac{4}{e^2}$