与えられた関数 $f(x,y)$ が原点 $(0,0)$ で連続となるように、定数 $A$ の値を求める問題です。関数は以下の通り定義されています。 $ f(x,y) = \begin{cases} \frac{\exp(x^2 + y^2) - 1}{x^2 + y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ A & (x,y) = (0,0) \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y)$ が原点 $(0,0)$ で連続となるように、定数 $A$ の値を求める問題です。関数は以下の通り定義されています。

$$

f(x,y) = \begin{cases}

\frac{\exp(x^2 + y^2) - 1}{x^2 + y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\

A & (x,y) = (0,0)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

関数 $f(x,y)$ が $(0,0)$ で連続であるためには、極限値 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ が存在し、$f(0,0)$ と一致する必要があります。つまり、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\exp(x^2 + y^2) - 1}{x^2 + y^2} = A$

ここで、$r^2 = x^2 + y^2$ とおくと、$(x,y) \to (0,0)$ のとき、$r \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\exp(x^2 + y^2) - 1}{x^2 + y^2} = \lim_{r \to 0} \frac{e^{r^2} - 1}{r^2}$

ここで、$t = r^2$ とおくと、$r \to 0$ のとき、$t \to 0$ となります。

$\lim_{r \to 0} \frac{e^{r^2} - 1}{r^2} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t}$

これは指数関数の微分の定義そのものです。

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = \frac{d}{dt} e^t |_{t=0} = e^0 = 1$

したがって、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\exp(x^2 + y^2) - 1}{x^2 + y^2} = 1$

関数 $f(x,y)$ が $(0,0)$ で連続であるためには、$A = 1$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$A = 1$