$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a}-b}{x-3} = \frac{3}{8}$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a}-b}{x-3} = \frac{3}{8}$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 3} (x-3) = 0$ であるから、極限値が存在するためには、$\lim_{x \to 3} (\sqrt{3x+a}-b) = 0$ である必要があります。

したがって、$\sqrt{3(3)+a} - b = 0$ より $\sqrt{9+a} = b$

よって、$b = \sqrt{9+a}$

次に、$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a}-b}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a} - \sqrt{9+a}}{x-3}$ を計算します。

分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a} - \sqrt{9+a}}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{3x+a} - \sqrt{9+a})(\sqrt{3x+a} + \sqrt{9+a})}{(x-3)(\sqrt{3x+a} + \sqrt{9+a})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(3x+a) - (9+a)}{(x-3)(\sqrt{3x+a} + \sqrt{9+a})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{3x-9}{(x-3)(\sqrt{3x+a} + \sqrt{9+a})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{3(x-3)}{(x-3)(\sqrt{3x+a} + \sqrt{9+a})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{3}{\sqrt{3x+a} + \sqrt{9+a}}$

$= \frac{3}{\sqrt{3(3)+a} + \sqrt{9+a}}$

$= \frac{3}{\sqrt{9+a} + \sqrt{9+a}}$

$= \frac{3}{2\sqrt{9+a}}$

これが $\frac{3}{8}$ に等しいので、$\frac{3}{2\sqrt{9+a}} = \frac{3}{8}$

したがって、$2\sqrt{9+a} = 8$

$\sqrt{9+a} = 4$

$9+a = 16$

$a = 7$

このとき、$b = \sqrt{9+a} = \sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$

3. 最終的な答え

$a = 7, b = 4$